如图，已知椭圆 的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D、E两点． （Ⅰ）若点G的横坐标为  ，求直线AB的斜率；（Ⅱ）记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2． 试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由． |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
（Ⅰ） ． （Ⅱ）不存在直线  ，使得  ． 12分 |
试题分析：（Ⅰ）依题意，直线 的斜率存在，设其方程为 ．将其代入  ，整理得  ．设  ， ， 所以  ． 4分故点  的横坐标为 ．依题意，得  ，解得 ． 6分（Ⅱ）解：假设存在直线 ，使得 ，显然直线不能与 轴垂直． 由（Ⅰ）可得  ．因为  ，所以  ，解得  ， 即  ．因为 △  ∽△ ，所以  ．所以  ，整理得  ．因为此方程无解，所以不存在直线 ，使得 ． 12分点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）利用弦长公式，确定得到三角形面积表达式，实现对“存在性问题”的研究。 |