已知中心在坐标原点焦点在 轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为 ．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)若点  (0,1), 问是否存在直线 与椭圆 交于 两点,且 ？若存在,求出 的取值范围,若不存在,请说明理由. |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在这样的直线 ,其斜率 的取值范围是 |
试题分析：(Ⅰ)由题意可设椭圆的标准方程为  1分则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2． 2分 又  ,所以 , 3分又由于  4分所求椭圆C的标准方程为 5分(Ⅱ)假设存在这样的直线   ,设 , 的中点为 因为  所以 所以 ①(i)其中若  时,则 ,显然直线 符合题意;(ii)下面仅考虑  情形:由  ,得 , ,得 ② 7分则  ． 8分代入①式得,即  ,解得 11分代入②式得  ,得 ．综上(i)(ii)可知,存在这样的直线 ,其斜率的取值范围是 13分点评：直线与椭圆相交时常将直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理找到根与系数的关系，进而将  转化为点的坐标表示，其中要注意条件 不要忽略 |