设 是椭圆 上的两点，已知向量  ，若 且椭圆的离心率 ，短轴长为2，O为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
（1） ；（2）△AOB的面积为定值1. |
试题分析：（1）由题可得  ，则椭圆方程为 3分（2）当  轴时： ，则 由对称性只取 . △AOB的面积为 6分 当AB与x轴不垂直时，设AB：y =kx + m. 则    8分O到直线AB的距离：  ，S△AOB 10分又   13分S△AOB △AOB的面积为定值1. 14分点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，定值、最值、范围问题将有所加强；利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇(如向量、不等式)命题将是今后命题的一个新的重点、热点. |