设椭圆  的右焦点为 ，直线 与 轴交于点 ，若 （其中 为坐标原点）．（I）求椭圆  的方程；（II）设  是椭圆上的任意一点， 为圆 的任意一条直径（ 、 为直径的两个端点），求 的最大值． |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
（I）椭圆 的方程为 ；（II）当  时， ，故 |
试题分析：（I）由题设知，  ， ， 由 ，得  ．解得 ．所以椭圆的方程为（II）方法1：设点  ，因为 的中点坐标为 ，所以  所以    ．因为点  在圆 上，所以 ，即 ．因为点  在椭圆上，所以 ，即 ．故    ．因为  ，所以当时， 法2：由题知圆N:  的圆心为N；则 从而求  的最大值转化为求 的最大值；因为点 在椭圆上，设点 所以，即．又因为  ,所以 ；因为 ，所以当时，，故方法3：①若直线  的斜率存在，设的方程为 ， 由  ，解得 ．因为是椭圆上的任一点，设点，所以  ，即 ．所以 故  ．因为 ，所以当时，，故②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为  ； 由 ，解得 或 . 不妨设E(0，3),F(0，1)； 因为点 在椭圆上，设点所以，即所以  ，故 因为 ，所以当时，，故点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）注意讨论直线的斜率存在、不存在两种情况，易于忽视。熟练进行平面向量的坐标运算，是正确解题的关键。 |