已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为定值 ，记的轨迹为 ． （1）求 的方程，并画出的简图；（2）点  是圆 上第一象限内的任意一点，过作圆的切线交轨迹于 ， 两点．（i）证明：  ；（ii）求  的最大值． |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
（1） ，C的图象是椭圆．（2）（i）  。(ii)当 过点 时取最大值2 |
试题分析：（1）设  ，由题动点M满足： 1分 其中：  ， ...2分 代入，化简得： C的图象是椭圆，如图所示． 4分 （2）（i）设  ， 则  5分 6分即 7分(ii)解法一、设切线为  ，由题与圆相切，得 ， 8分 再由  ，得 9分 10分由（i）知  ，所以 11分 又  . 2分 ，当 时，取最大值2 13分 的最大值为2． ...14分解法二、 由（i）同理得  ，则 又  当 过点时取最大值2点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。涉及弦长问题，一般要利用韦达定理，简化解题过程。本题“几何味”较浓，应认真分析几何特征。 |