已知椭圆C： ( )经过 与 两点. （Ⅰ）求椭圆  的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足  ．求证： 为定值． |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
（Ⅰ） （Ⅱ）①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时  ．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时  ．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为 （ ），则直线OM的方程为  ，设 ， ，由 解得 ， ，∴ ，同理 ，所以 ，为定值 ． 13分 |
试题分析：（Ⅰ）将  与 代入椭圆C的方程， 得  解得 ， ．∴椭圆  的方程为． 6分（Ⅱ）由  ，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时 ．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时  ．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为 （），则直线OM的方程为 ，设，，由 解得，，∴ ，同理，所以  ，故 为定值． 13分点评：求椭圆方程采用的待定系数法，第二问中要证明式子结果是定值首先需求出点  坐标，结合已知条件可知这三点坐标教容易求出，因此只需联立方程求解即可 |