如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于,两点.当直线经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为. (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点, 记△的面积为,△(为原点)的面积为,求的取值范围. |
题型:【】 标签:圆锥曲线综合
题目:
答案及解析
(Ⅰ). (Ⅱ)的取值范围是. |
试题分析:(Ⅰ)解:依题意,当直线经过椭圆的顶点时,其倾斜角为 1分 则 . 2分 将 代入 , 解得 . 3分 所以椭圆的离心率为 . 4分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ),椭圆的方程可设为. 5分 设,. 依题意,直线不能与轴垂直,故设直线的方程为,将其代入 得 . 7分 则 ,, . 8分 因为 , 所以 ,. 9分 因为 △∽△, 所以 11分 . 13分 所以的取值范围是. 14分 点评:中档题,求椭圆的标准方程,主要运用了椭圆的几何性质,a,b,c,e的关系。曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。对于三角形面积计算问题,注意应用已有垂直关系及弦长公式。本题应用韦达定理,简化了解题过程。 |