已知椭圆E： 的离心率为 ，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．（1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N． （ⅰ）当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程； （ⅱ）若  ，求△ABM的面积． |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
（1） （2）  12 |
试题分析：（1）由离心率为  ，椭圆E上的点到点F距离的最小值为2，即a﹣c=2联立方程组求a，c的值，然后利用b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆方程可求；（2）（ⅰ）设出圆的一般方程，设N（8，t），把三点A（﹣4，0），F（2，0），N（8，t）代入圆的方程整理成标准式后利用基本不等式求出半径的最小值，同时求得半径最小时的圆的方程； （ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M点的坐标，由  ，借助于向量数量积求出直线的斜率，进一步得到M点的纵坐标，则△ABM的面积可求．（1）由已知，  ，且a﹣c=2，所以a=4，c=2，所以b2=a2﹣c2=12，所以椭圆E的方程为  ．（2）（ⅰ）由（1），A（﹣4，0），F（2，0），设N（8，t）． 设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，将点A，F，N的坐标代入，得  ，解得 ．所以圆的方程为  ，即  ，因为  ，当且仅当 时，圆的半径最小，故所求圆的方程为  ．（ⅱ）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）． 由  ，得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣48=0由﹣4+xM=  ，得 ，所以 ，所以  ， ，所以  = = ，化简，得16k4﹣40k2﹣9=0， 解得  ，或 ，即 ，或 ，此时总有yM=3，所以△ABM的面积为  ． |