如图，椭圆 ： 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，过作与 轴垂直的直线 与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）若过点  的直线与椭圆相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满足 （ 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围． |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
（Ⅰ）椭圆的方程为 ． （Ⅱ）实数 取值范围为 . |
试题分析：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点  ．所以椭圆  的方程为： ． 解方程组  得C（1，2），D（1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，∴  ， ， ∴ ． 2分因此，  ，解得 并推得 ． 故椭圆的方程为 ． 4分（Ⅱ）由题意知直线  的斜率存在.设 ： ， ， ， ，由  得 . ， . 6分 ， .∵  ＜ ，∴ ，∴  ∴ ，∴  ，∴ .∴ ， 8分∵  ，∴ ， ， . ∵点  在椭圆上，∴ ，∴  ∴ ， 10分∴  或 ，∴实数 取值范围为. 12分点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了抛物线及椭圆的几何性质，建立a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）结合向量的坐标运算，确定得到t的函数式，通过确定函数的值域，达到确定实数 取值范围的目的。利用函数思想解题，是一道好例。 |