已知 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上位于第一象限内的一点，点 也在椭圆上，且满足 （ 是坐标原点）， ，若椭圆的离心率为 .（1）若  的面积等于，求椭圆的方程；（2）设直线  与（1）中的椭圆相交于不同的两点 ，已知点的坐标为（ ），点 在线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值. |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
（1） （2） |
试题分析：（1）利用离心率沟通  和 及 的关系，再由三角形面积得到另一个，，的关系，可求得椭圆方程为： ．（3）由（2）可知A（-2,0）．设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2), 于是A,B两点的坐标满足方程组  由方程组消去y并整理，得  由  得 设线段AB是中点为M，则M的坐标为  以下分两种情况： ①当k=0时，点B的坐标为（2,0）．线段AB的垂直平分线为y轴，于是  ．②当K  时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得  由    整理得  ．经验证，都符合题意，故 ．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的过程一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理和判别式来作为解题的关键． |