已知抛物线(且为常数),为其焦点. (1)写出焦点的坐标; (2)过点的直线与抛物线相交于两点,且,求直线的斜率; (3)若线段是过抛物线焦点的两条动弦,且满足,如图所示.求四边形面积的最小值. |
题型:【】 标签:圆锥曲线综合
题目:
答案及解析
(1)(a,0);(2); (3) . |
试题分析:(1)∵抛物线方程为(a>0),∴焦点为F(a,0). (2)设满足题意的点为P(x0,y0)、Q(x1,y1). ∵, ∴(a-x0,-y0)=2(x1-a,y1),即. 又y12=4ax1,y02=4ax0, ∴,进而可得x0=2a,,即y0=±2a. ∴. (3) 由题意可知,直线AC不平行于x轴、y轴(否则,直线AC、BD与抛物线不会有四个交点)。 于是,设直线AC的斜率为. 12分 联立方程组,化简得(设点),则是此方程的两个根. . 13分 弦长 = = =. 15分 又,.. 16分 =,当且仅当时,四边形面积的最小值.18分 点评:中档题,涉及曲线的位置关系问题,往往通过联立方程组,消元后,应用韦达定理,简化运算过程。本题(2)通过应用平面向量共线的条件,利用“代入法”,得到的关系,进一步求得直线的斜率。(3)利用函数的观点及均值定理,确定得到面积的最小值。应用均值定理要注意“一正,二定,三相等”,缺一不可。 |