平面内动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，记点的轨迹为曲 ．（Ⅰ）求曲线 的方程；（Ⅱ）若点  ， ， 是 上的不同三点，且满足 ．证明：  不可能为直角三角形． |
题型：【】 标签：圆锥曲线综合
题目：
答案及解析
（1） （2）利用向量的关系式来得到坐标关系式，然后借助于反证法来说明不成立。 |
试题分析：解法一：（Ⅰ）由条件可知，点  到点 的距离与到直线 的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为． 4分（Ⅱ）假设  是直角三角形，不失一般性，设 ， ， ， ，则由 ， ， ，所以  ． 6分因为   ， ， ，所以  ． 8分又因为  ，所以 ， ，所以  ． ①又  ，所以  ，即 ． ② 10分由①，②得  ，所以 ． ③因为  ．所以方程③无解，从而 不可能是直角三角形． 12分解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）设 ，，，由，得 ，． 6分由条件的对称性，欲证 不是直角三角形，只需证明 ． 当 轴时， ， ，从而 ， ，即点  的坐标为 ．由于点 在上，所以 ，即 ，此时  ， ， ，则． 8分 当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ，代入，整理得：  ，则 ．若 ，则直线 的斜率为 ，同理可得： ．由 ，得 ， ， ．由 ，可得．从而    ，整理得：  ，即 ，① ．所以方程①无解，从而 ． 11分综合 ，， 不可能是直角三角形． 12分点评：本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等 |